Polinomlar - 10. sınıf Matematik Konu Anlatımı

Ü  P(x) polinomunun;
Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER
1. Toplama ve Çıkarma
P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + …
Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + …
olmak üzere,
P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + …
P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + …
olur.
2. Çarpma
İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.
3. Bölme
der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,

P(x) : Bölünen polinom
Q(x) : Bölen polinom
B(x) : Bölüm polinom
K(x) : Kalan polinomdur.
P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
der [K(x)] < der [Q(x)]
K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.
der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]
Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.
Bunun için;

1. Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2. Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
3. Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün te-rimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.
4. Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır.
5. Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.

F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI
Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.
1. Bölen Birinci Dereceden İse
Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine  yazılır.

•  P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.
•  P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan

2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa
Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur.
P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,
P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.
P(b) = mb + n … (1)
P(c) = mc + n … (2)
(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.

Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir.

3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa
Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur.
1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur.
2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.

•  P(x) polinomunun ax² + bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x² yerine yazılır.

4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+)

P(x) = axn + bxm + d ise,Pı(x) = a . nxn–1 + b . mxm–1 + 0Pıı(x) = a . n . (n – 1)xn – 2 + b . m(m –1) . xm – 2 dir.

P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise,P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalanK(x) = (x – a) k2 + k1 olur.

G. BASİT KESİRLERE AYIRMA
a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,
eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur.
Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen  de yazılır.
Aynı işlemler B için de yapılır.

H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER
m > n olmak üzere,
der[P(x)] = m
der[Q(x)] = n olsun.
Buna göre,

1. der[P(x) ± Q(x)] = m tir.
2. der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
3. P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir.
4. k Î N⁺ için der[P^k(x)] = k . m dir.
5. der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.